Question

5．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示．其中左视图面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．俯视图的面积为2．D为AA₁上的点．且A₁D=$\frac{1}{4}$．其中F为线段AB上的点．
（I）若F为AB的中点，证明：B₁D⊥平面A₁CF；
（Ⅱ）若二面角A₁-CF-A的余弦值为$\frac{\sqrt{17}}{17}$．判断此时点F的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三视图的面积求出三棱柱的高和底面正三角形的边长，建立坐标性，利用向量法证明线面垂直即可．
（Ⅱ）设F（a，2，0），求出平面的法向量，利用向量法求出向量夹角的余弦公式，建立方程组求出a的值即可得到结论．

解答 解：（I）∵视图面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴设正三角形ABC的边长为x，则$\frac{1}{2}$x${\;}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则x=1，即AB=AC=BC=1，
∵俯视图的面积为2，
∴A₁A•AB=A₁A×1=2，则A₁A=2，
取A₁B₁的中点O，建立以O为坐标原点，OA₁，OF，O₁C分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵A₁D=$\frac{1}{4}$．F为AB的中点，
∴A₁（$\frac{1}{2}$，0，0），B₁（-$\frac{1}{2}$，0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，0），F（0，2，0），
则$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（1，$\frac{1}{4}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（$-\frac{1}{2}$，2，0），
则$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（1，$\frac{1}{4}$，0）•（$-\frac{1}{2}$，2，0）=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×2$=0，
即$\overrightarrow{{B}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}F}$，则B₁D⊥A₁F；
∵CF⊥平面ABB₁A₁，∴CF⊥B₁D，
∵CF∩A₁F=F，
∴B₁D⊥平面A₁CF；
（Ⅱ）设F（a，2，0），-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
则平面CFA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
则C（0，2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-$\frac{1}{2}$，2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（a，0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面A₁CF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{ax-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-\frac{1}{2}x+2y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，则y=$\frac{1-2a}{2}$，z=$\frac{4a}{\sqrt{3}}$，
则$\overrightarrow{n}$=（2，$\frac{1-2a}{2}$，$\frac{4a}{\sqrt{3}}$），
∵二面角A₁-CF-A的余弦值为$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\frac{1-2a}{2}|}{\sqrt{4+（\frac{1-2a}{2}）^{2}+\frac{16{a}^{2}}{3}}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
平方得$\frac{\frac{（1-2a）^{2}}{4}}{4+\frac{（1-2a）}{4}+\frac{16{a}^{2}}{3}}$=$\frac{1}{17}$，
整理得$\frac{17（1-2a）^{2}}{4}$=4+$\frac{（1-2a）^{2}}{4}$+$\frac{16{a}^{2}}{3}$，
即$\frac{2{a}^{2}}{3}$=a得a=0或a=$\frac{3}{2}$（舍），
即F（0，2，0），此时F为AB的中点．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的应用，建立坐标性，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键，综合性较强．