Question

16．已知复数z₁满足z₁（2+i）=5i（i为虚数单位），若复数z₂满足z₁+z₂是实数，z₁•z₂是纯虚数，求复数z₂．

Answer 1

分析 由z₁（2+i）=5i（i为虚数单位），可得z₁=2i+1，设z₂=a+bi，（a，b∈R），再利用复数的运算法则、复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．

解答 解：∵z₁（2+i）=5i（i为虚数单位），
∴z₁（2+i）（2-i）=5i（2-i），∴z₁=i（2-i）=2i+1，
设z₂=a+bi，（a，b∈R），
∵复数z₂满足z₁+z₂=1+2i+（a+bi）=（1+a）+（2+b）i为实数，
∴2+b=0，解得b=-2．
∵z₁•z₂=（1+2i）（a-2i）=a+4+（2a-1）i为纯虚数，
∴a+4=0，2a-1≠0，解得a=-4．
∴复数z₂=-4-2i．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数为实数及纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．