Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁B；
（Ⅱ）若P是线段AC上一点，$AD=\sqrt{3}$，AB=BC=2，三棱锥A₁-PBC的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求$\frac{AP}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （I）由AD⊥平面A₁BC得BC⊥AD，由AA₁⊥平面ABC得BC⊥AA₁，故BC⊥平面A₁AB，所以BC⊥A₁B；
（II）设PC=x，用x表示出棱锥A₁-BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值．

解答 （Ⅰ）证明∵AD⊥平面A₁BC，BC?平面A₁BC，
∴AD⊥BC．
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC．
又∵AA₁∩AD=A，AA₁?平面AA₁B，AD?平面AA₁B，
∴BC⊥平面AA₁B，∵A₁B?平面AA₁B，
∴BC⊥A₁B．
（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．
由（Ⅰ）知BC⊥平面AA₁B₁B，∴BC⊥AB，
∵AB=BC=2，∴$AC=2\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{2}$．
∴${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}BE•CP=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
∵AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上，
∴AD⊥A₁B．∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=1，又∵AA₁⊥AB，
∴Rt△ABD∽Rt△A₁BA，∴$\frac{BD}{AB}=\frac{AD}{A{A}_{1}}$，
∴$A{A_1}=2\sqrt{3}$．
∴${V_{{A_1}-PBC}}=\frac{1}{3}{S_{△PBC}}•A{A_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解得：$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$AP=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．∴$\frac{AP}{PC}=3$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．