Question

20．双曲线3x²-y²=75上一点P到它的一个焦点的距离等于12，那么点P到它的另一个焦点的距离等于22．

Answer 1

分析 将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b，c，由c+a=15，c-a=5，可得P，F₁在y轴的同侧，设|PF₁|=12，运用双曲线的定义，可得|PF₂|=2或22，检验舍去2．

解答 解：双曲线3x²-y²=75即为
$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{75}$=1，即有a=5，b=5$\sqrt{3}$，c=10，
由c+a=15，c-a=5，可得P，F₁在y轴的同侧，
设|PF₁|=12，
由双曲线的定义可得||PF₁|-|PF₂||=2a=10，
即有|12-|PF₂||=10，
解得|PF₂|=2或22，
由|PF₂|的最小值为c-a=5＞2，
即有|PF₂|=22，
故答案为：22．

点评 本题考查双曲线上的点到一焦点的距离的求法，注意运用双曲线的定义和焦半径的最小值，考查运算能力，属于基础题和易错题．