Question

5．已知点F₁、F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F₁的直线l与双曲线C的左，右两支分别交于P，Q两点，若△PQF₂是以∠PQF₂为为直角的等腰直角三角形，e为双曲线C的离心率，则e²=5+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设|QF₂|=|PQ|=m，计算出|PF₂|=$\sqrt{2}$m，运用双曲线的定义，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e²的值．

解答 解：设|QF₂|=|PQ|=m，
则|PF₂|=$\sqrt{2}$m，
由双曲线的定义可得|QF₁|=m+2a，|PF₁|=$\sqrt{2}$m-2a，
∵|PQ|=|QF₁|-|PF₁|=m，
∴m+2a-（$\sqrt{2}$m-2a）=m，
∴4a=$\sqrt{2}$m，即m=2$\sqrt{2}$a，
∵△QF₁F₂为直角三角形，
∴|F₁F₂|²=|QF₁|²+|QF₂|²
∴4c²=（2+2$\sqrt{2}$）²a²+（2$\sqrt{2}$a）²，
∴4c²=（20+8$\sqrt{2}$）a²，
由e=$\frac{c}{a}$可得
e²=5+2$\sqrt{2}$．
故答案为：5+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程与性质：离心率，考查双曲线的定义，利用勾股定理求解，属于中档题．