Question

19．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，△ABC的面积等于6．
（1）求角C；
（2）求△ABC的三条边长．

Answer 1

分析 （1）由sinB=sin（A+C）=cosAsinC得出sinAcosC=0，于是cosC=0，即C=$\frac{π}{2}$；
（2）利用向量数量级的定义式得出b，代入面积公式得出a，根据勾股定理计算c．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，
∴sinAcosC=0，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴cosC=0，
∴C=$\frac{π}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccosA=b²=9，
∴b=3，
∵S=$\frac{1}{2}ab$=$\frac{3a}{2}$=6，
∴a=4．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=5$．

点评 本题考出查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量级运算，三角形的面积公式，属于基础题．