Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是边长为2的正三角形，PD⊥CD，E，F分别为PC，AD的中点．
（1）求证：平面CEF⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥P-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）连结PF，由CD⊥AD，CD⊥PD得CD⊥平面PAD，故CD⊥PF，又PF⊥AD，故PF⊥平面ABCD，于是平面CEF⊥平面ABCD；
（2）由E是PC的中点得V_P-BDE=$\frac{1}{2}$V_P-BDC．

解答 解：（1）连结PF，
∵△PAD是正三角形，∴PF⊥AD．
∵AD⊥CD，PD⊥CD，PD?平面PAD，AD?平面PAD，AD∩PD=D，
∴CD⊥平面PAD，∵PF?平面PAD，
∴CD⊥PF．
又∵AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD∩CD=D，
∴PF⊥平面ABCD，∵PF?平面CEF，
∴平面CEF⊥平面ABCD．
（2）∵△PAD是边长为2的正三角形，四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴PF=$\sqrt{3}$，BC=CD=2，
∴V_P-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵E是PC的中点，
∴V_P-BDE=$\frac{1}{2}$V_P-BDC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．