Question

16．在边长为2的正△ABC中，已知$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，若$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{BD}$，则λ=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，由$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{BD}$，得到$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=0，由此能求出答案．

解答 解：∵等边三角形ABC的边长为2，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）（-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$）=-|$\overrightarrow{AB}$|²+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-λ$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$•$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$
=-|$\overrightarrow{AB}$|²+$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos60°-λ|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos120°+$\frac{2λ}{3}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos60°
=-4+$\frac{2}{3}$×2×2×$\frac{1}{2}$+λ×2×2×$\frac{1}{2}$+$\frac{2λ}{3}$×2×2×$\frac{1}{2}$
=-4+$\frac{4}{3}$+2λ+$\frac{4λ}{3}$
=0，
解得λ=$\frac{4}{5}$，
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查向量数量积的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用，是中档题．