Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），则S₂₀₁₆=（　　）

• A． 2²⁰¹⁶-1
• B． 3•2¹⁰⁰⁸-3
• C． 3•2¹⁰⁰⁸-1
• D． 3•2¹⁰⁰⁷-2

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₂•a₁=2，解得a₂．当n≥2时，可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2．于是数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．通过分组求和、利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a₂•a₁=2，解得a₂=2．
当n≥2时，$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．
则S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{2}^{1008}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$
=3•2¹⁰⁰⁸-3．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、分类讨论方法、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．