Question

5．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足下列（1）（3）（填序号）条件时，该船没有触礁危险．
（1）mcosαcosβ＞nsin（α-β）
（2）mcosαcosβ＜nsin（α-β）
（3）$\frac{m}{n}＞tanα-tanβ$
（4）$\frac{m}{tanα•tanβ}＜\frac{n}{tanα-tanβ}$．

Answer 1

分析 先确定∠MAB、∠AMB的值，再作MC⊥AB，根据正弦定理可求得BM的关系式，然后根据x=BM•cosβ求出CM的值，只要x＞n就没有触礁危险，从而得到答案．

解答 解：由题意可知，∠MAB=$\frac{π}{2}$-α，∠AMB=α-β
过M作MC⊥AB于C，设CM=x，
根据正弦定理可得$\frac{m}{sin（α-β）}=\frac{BM}{sin（\frac{π}{2}-α）}=\frac{BM}{cosα}$，
∴BM=$\frac{mcosα}{sin（α-β）}$，
又因为x=BM•cosβ=$\frac{mcosαcosβ}{sin（α-β）}$＞n时没有触礁危险，
即mcosαcosβ＞nsin（α-β），（1）正确；
$\frac{m}{n}＞\frac{sin（α-β）}{cosαcosβ}$=tanα-tanβ，（3）正确．
故答案为：（1）（3）．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属基础题．