Question

18．如图甲，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点．
（1）若点E是AB的中点，点F是BC的中点时，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A（如图乙），求证：A₁D⊥EF；
（2）当BE=BF=$\frac{1}{4}$BC时，求三棱锥A₁-EFD的体积．

Answer 1

分析 （1）由A₁D⊥A₁F，A₁D⊥A₁E可得A₁D⊥平面A₁EF，故A₁D⊥EF；
（2）在△A₁EF中，使用余弦定理求出cos∠EA₁F，得出sin∠EA₁F，则V${\;}_{{A}_{1}-EFD}$=V${\;}_{D-{A}_{1}EF}$．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴A₁D⊥A₁F，A₁D⊥A₁E，
又∵A₁E∩A₁F=A₁，A₁E?平面A₁EF，A₁F?平面A₁EF．
∴A₁D⊥平面A₁EF．又∵EF?平面A₁EF，
∴A₁D⊥EF．
（2）由四边形ABCD为边长为2的正方形，BE=BF=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$．
∴${A_1}D=2，{A_1}E={A_1}F=\frac{3}{2}，EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
在△A₁EF中，由余弦定理得：$cos∠E{A_1}F=\frac{{{{（{\frac{3}{2}}）}^2}+{{（{\frac{3}{2}}）}^2}-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^2}}}{{2×\frac{3}{2}×\frac{3}{2}}}=\frac{8}{9}$，
∴$sin∠E{A_1}F=\frac{{\sqrt{17}}}{9}$
∴${S_{△E{A_1}F}}=\frac{1}{2}{A_1}E•{A_1}F•sin∠E{A_1}F=\frac{{\sqrt{17}}}{8}$
∴三棱锥A₁-EFD的体积$V=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{17}}}{8}×2=\frac{{\sqrt{17}}}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．