Question

10．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图2所示，N是CD上一点，且$CN=\frac{1}{2}ND$．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求三棱锥F-AMN的体积．

Answer 1

分析 （I）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．利用中位线定理得出四边形MPQN是平行四边形，故MN∥PQ，于是MN∥平面ADFE；
（II）延长DA，FE，CB交于一点H，利用平行线等分线段成比例得出MN与DH的比值，得出△AMN与△CDH的面积比，则三棱锥F-AMN与三棱锥F-CDH的体积比等于其底面积的比．

解答 解：（Ⅰ）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．
则MP∥CE，$MP=\frac{BE+CF}{2}=2$．
$\frac{NQ}{CE}=\frac{DN}{CD}=\frac{2}{3}$，∴NQ=2，
∴MP$\stackrel{∥}{=}$NQ，
∴四边形MPQN是平行四边形
∴MN∥PQ，又PQ?平面ADFE，MN?平面ADFE，
∴MN∥平面ADFE．
（Ⅱ）延长DA，FE，CB交于一点H，
∵$\frac{BE}{BF}=\frac{AE}{DF}=\frac{1}{3}$，∴BE=$\frac{1}{2}EF=1$，
∴$\frac{FP}{FH}=\frac{1}{3}$，∵$\frac{FQ}{FD}=\frac{CN}{CD}=\frac{1}{3}$，∴PQ∥DH，且$\frac{PQ}{DH}=\frac{1}{3}$．
∵MN=PQ，MN∥PQ，∴MN$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{3}DH$．
∴$\frac{{S}_{△MNA}}{{S}_{△CDH}}$=$\frac{2}{9}$，∴$\frac{{V}_{F-AMN}}{{V}_{F-CDH}}=\frac{2}{9}$．
∵${V_{F-CDH}}={V_{C-FDH}}=\frac{1}{3}×3×\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，
∴V_F-AMN=1．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．