Question

5．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，各棱长均为2，D，E，F，G分别是棱AC，AA₁，CC₁，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面B₁FG∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-BDE的体积．

Answer 1

分析 （I）连接DG，A₁C，则四边形BB₁GD是平行四边形，所以B₁G∥BD，故而B₁G∥平面EBD．由中位线定理得GF∥DE，故而GF∥平面EBD，于是平面B₁FG∥平面BDE；
（II）过D作DH⊥AB，则可证DH⊥平面A₁B₁BA，于是以△B₁BE为棱锥底面，以DH为棱锥的高求出体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接DGA₁C．
∵D，G分别是AC，A₁C₁的中点，
∴DG$\stackrel{∥}{=}$AA₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴四边形BB₁GD是平行四边形，
∴B₁G∥BD，又B₁G?平面EBD，BD?平面EBD，
∴B₁G∥平面EBD．
∵D，E，F，G分别是棱AC，AA₁，CC₁，A₁C₁的中点，
∴GF∥A₁C∥DE，
∴GF∥ED，又GF?平面EBD，ED?平面EBD，
∴GF∥平面EBD                                            
又B₁G∩GF=G，B₁G?平面B₁FG，GF?平面B₁FG，
∴平面B₁FG∥平面EBD．
（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB交AB于H，
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面A₁ABB₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面ABC，又平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，DH⊥AB，DH?平面ABC，
∴DH⊥平面A₁ABB₁，
∵AB=BC=AC=2，∴DA=1，BD=$\sqrt{3}$，∴$DH=\frac{DA•DB}{AB}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴${V_{{B_1}-BDE}}={V_{D-B{B_1}E}}=\frac{1}{3}{S_{△{B_1}EB}}•DH=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了面面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．