Question

14．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知：∠ABC=45°，AB=2，$BC=2\sqrt{2}$，SB=SC，直线SA与平面ABCD所成角为45°，O为BC的中点．
（1）证明：SA⊥BC
（2）求四棱锥S-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC，AO，SO，利用余弦定理求出AC=2，则AC=BC，由三线合一可得AO⊥BC，SO⊥BC，于是BC⊥平面SAO，从而BC⊥SA；
（2）根据勾股定理求出AO，由∠SAD=45°得出SO=AO，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解：（1）连结AC，AO，SO．
在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•COS∠ABC=4，
∴AC=2，∴AB=AC，
又∵SB=SC，O为BC的中点，
∴SO⊥BC，AO⊥BC，又，SO?平面SAO，AO?平面SAO，SO∩AO=O，
∴BC⊥平面SOA，又SA?平面SOA，
∴SA⊥BC．
（2）∵平面SBC⊥平面ABCD，平面SBC∩平面ABCD=BC，SO⊥BC，SO?平面SBC，
∴SO⊥平面ABCD，
∴∠SAO为直线SA与底面ABCD所成的角，即∠SAO=45°，
∵OB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{2}$，∴SO=AO=$\sqrt{2}$，
∴V_S-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}•SO$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，构造平面SOA是解题关键，属于中档题．