Question

9．如图，在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，PB=BC=2CD=2，点A是PB的中点，E是BC的中点，现沿AD将平面PAD折起，使得PA⊥AB；
（1）求异面直线PC与AE所成角的大小；
（2）求四棱锥P-AECD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD中点F，连结PF，CF，则AE∥CF，即∠PCF为异面直线PC与AE所成角．由PA⊥AB，PA⊥AD得出PA⊥平面ABCD，利用勾股定理求出△PCF的三条边，利用余弦定理求出∠PCF；
（2）四棱锥P-AECD的底面为直角梯形，高为PA，代入公式计算即可．

解答 解：（1）取AD中点F，连结PF，CF，
∵AB$\stackrel{∥}{=}CD$，DC⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵E，F是BC，AD的中点，
∴AF$\stackrel{∥}{=}$CE，即四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠PCF为异面直线PC与AE所成角．
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
∴PF=$\sqrt{P{A}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
又∵CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴cos∠PCF=$\frac{P{C}^{2}+C{F}^{2}-P{F}^{2}}{2PC•CF}$=$\frac{6+2-2}{2\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠PCF=$\frac{π}{6}$，即异面直线PC与AE所成角的大小为$\frac{π}{6}$．
（2）V_P-AECD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形AECD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×1=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了空间角的计算，棱锥的体积计算，作出异面直线所成的角是解题关键．