Question

19．已知四棱锥P-ABCD中，PA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，BA⊥AD，BC∥AD，M是PC的中点，且AB=AD=AP=2，BC=4．
（1）求证：DM∥平面PAB；
（2）求三棱锥M-PBD的体积．

Answer 1

分析 （1）取PB的中点N，连结AN，MN，则MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，又AD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，故四边形MNAD是平行四边形，于是MD∥AN，所以MD∥平面PAB；
（2）分别求出棱锥P-ABCD，棱锥P-ABD，棱锥M-BCD的体积，则V_M-PBD=V_P-ABCD-V_P-ABD-V_M-BCD．

解答 解：（1）取PB的中点N，连结AN，MN，
∵M，N是PC，PB的中点，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，又AD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形MNAD是平行四边形，
∴MD∥AN，又MD?平面PAB，AN?平面PAB，
∴MD∥平面PAB．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$，
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+4）×2×2$=4．
∵M是PC的中点，∴M到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PA$=1．
∴V_M-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×1$=$\frac{4}{3}$．
∴V_M-PBD=V_P-ABCD-V_P-ABD-V_M-BCD=4-$\frac{4}{3}-\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．