Question

4．已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f（x）=-ax²-ln（-x）+1，a∈R．
（1）当$a=\frac{1}{2}$时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对于（0，2]上任意的x，都有|f（x）+x|≥1成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用奇函数的定义，可得x∈（0，2]时，f（x）=ax²+lnx-1，求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）由题意可得ax²+lnx+x-2≥0或ax²+lnx+x≤0对于任意的x∈（0，2]成立，可得$a≥\frac{-lnx-x+2}{x^2}$或$a≤\frac{-lnx-x}{x^2}$对于任意的x∈（0，2]成立，分别求出表达式右边的最值，由恒成立思想即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）f（x）为[-2，2]上的奇函数，则f（-x）=-f（x）．
当x∈（0，2]时，-x∈[-2，0），f（x）=-f（-x）=ax²+lnx-1．
当$a=\frac{1}{2}$时，x∈（0，2]时，$f'（x）=x+\frac{1}{x}$，f′（1）=2，$f（1）=-\frac{1}{2}$．
所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x-2y-5=0；
（2）由题可知，|ax²+lnx+x-1|≥1对于任意的x∈（0，2]成立，
即ax²+lnx+x-2≥0或ax²+lnx+x≤0对于任意的x∈（0，2]成立，
可得$a≥\frac{-lnx-x+2}{x^2}$或$a≤\frac{-lnx-x}{x^2}$对于任意的x∈（0，2]成立，
①显然函数$y=\frac{-lnx-x+2}{x^2}$没有最大值，故不存在实数a满足题意；
②设$g（x）=\frac{-lnx-x}{x^2}$，x∈（0，2].$g'（x）=\frac{2lnx+x-1}{x^3}$，x∈（0，2]，
令g′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1），g'（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x∈（1，2]，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增．
可得a≤g（x）_min=g（1）=-1．
综上，实数a的最大值为-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数，由导数判断单调性求得最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．