Question

12．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$，求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取PA中点G，连结FG，DG，由题意可得四边形DEFG为平行四边形，得到EF∥DG且EF=DG，再由PD⊥底面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD，由PD=AD，PG=GA，可得DG⊥PA，而DG?平面PAD，得到DG⊥平面PAB，从而得到EF⊥平面PAB；
（2）连接PE，BE，可得${S}_{△BEA}=\frac{1}{2}{S}_{四边形ABCD}$，求解直角三角形得到PD=1，然后利用等积法把三棱锥P-AEF的体积转化为B-AEF的体积求解．

解答 （1）证明：取PA中点G，连结FG，DG，
由题意可得BF=FP，则FG∥AB，且FG=$\frac{1}{2}AB$，
由CE=ED，可得DE∥AB且DE=$\frac{1}{2}AB$，
则FG=DE，且FG∥DE，
∴四边形DEFG为平行四边形，则EF∥DG且EF=DG，
又PD⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ABD，
则平面PAB⊥平面PAD，
由PD=AD，PG=GA，可得DG⊥PA，而DG?平面PAD，
∴DG⊥平面PAB，
又EF∥DG，得EF⊥平面PAB；
（2）解：连接PE，BE，则${S}_{△BEA}=\frac{1}{2}{S}_{四边形ABCD}$，
∵AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∴BC=1，则PD=1，
∴V_P-AEF=V_B-AEF=$\frac{1}{2}{V}_{P-ABE}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•PD$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AB•AD•PD$=$\frac{1}{12}•\sqrt{2}•1•1=\frac{\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．