Question

3．如图，在空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）若△ABC为边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，AD与BD，CD所成角的余弦值均为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求三棱锥D-BEC的体积．

Answer 1

分析 （1）过D作DO⊥BC，则由平面ABC⊥平面BCD得出DO⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，故DO∥AE，于是AE∥平面BCD；
（2）连结OA，则可证四边形OAED是矩形，故DE⊥平面BCD．由AD与BD，CD的夹角相等得OD为∠BDC的角平分线，令DO=a，用a表示出CD，AD，在△ACD中利用余弦定理解出a，代入棱锥的体积公式计算．

解答 （1）证明：过点D作DO⊥BC交BC于点O．
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，DO?平面BCD，DO⊥BC，
∴DO⊥平面ABC，又∵AE⊥平面ABC，
∴AE∥DO．又DO?平面BCD，AE?平面BCD，
∴AE∥平面BCD．
（2）连接AO，∵DE∥平面ABC，DE?平面OAED，平面OAED∩平面ABC=OA，
∴DE∥OA，又∵AE∥DO，AE⊥平面ABC，
∴四边形AODE是矩形，
∴DE⊥平面BCD．
∵AD与BD，CD所成角的余弦值均为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴BD=CD，∴O为BC中点，
设DO=a，则OB=OC=$\frac{1}{2}BC=1$，OA=$\sqrt{3}$．cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴$CD=\sqrt{1+{a^2}}，AD=\sqrt{3+{a^2}}$．DE=OA=$\sqrt{3}$．
在△ACD中，AC=2，
由余弦定理得：AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
即4=a²+1+a²+3-2$\sqrt{{a}^{2}+1}$$•\sqrt{{a}^{2}+3}$•$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
解得a=1，即DO=1．
∴V_D-BEC=V_E-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．