Question

18．过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点垂直于x轴的弦长为a．则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 令x=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，代入椭圆方程，求得弦长，即为b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，再由双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：令x=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，代入椭圆方程可得：
y=±b$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
由题意可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=a，即有：
b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
可得双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为：
e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用椭圆的弦长的求法，考查离心率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于基础题．