Question

7．在△ABC中，M₁，M₂分别是边BC，AC的中点，AM₁与BM₂相交于点G，BC的垂直平分线与AB交于点N，且$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NC}$-$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NB}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$²，则△ABC是（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 任意三角形

Answer 1

分析 根据题意可得G为△ABC的重心，再根据题意可得 $\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{{NM}_{1}}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{BM}_{1}}$ ）•$\overrightarrow{BC}$=0+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{BM}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$²，化简可得$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=0，即 $\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{CA}$，从而得出结论．

解答 解：由题意可得，G为△ABC的重心，
∵$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NC}$-$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NB}$=$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$²，
∵$\overrightarrow{NG}$=$\overrightarrow{{NM}_{1}}$+$\overrightarrow{{M}_{1}G}$=$\overrightarrow{{NM}_{1}}$+$\frac{\overrightarrow{{M}_{1}A}}{3}$
=$\overrightarrow{{NM}_{1}}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{BM}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{{NM}_{1}}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{BM}_{1}}$ ）•$\overrightarrow{BC}$
=0+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{BM}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$²，
∴2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$-2$\overrightarrow{{BM}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$²，
即 2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$²，
即 $\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$²，
∴$\overrightarrow{BC}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=0，即 $\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{CA}$，∴BC⊥CA，
△ABC为直角三角形，
故选：C．

点评 本题考查了平面向量加减运算的几何意义，平面向量数量积运算，属于中档题．