Question

2．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=1，DC=DC₁，AE=ED，F为BB₁上任意一点，且FB₁=3BF．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅲ）三棱锥B₁-ABC₁的体积．

Answer 1

分析 （I）过E作EG⊥AC于G，连结BG，由中位线定理得EG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{4}C{C}_{1}$，又BF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{4}$CC₁，于是四边形EFBG是平行四边形，故EF∥BG，于是EF∥平面ABC；
（II）棱柱的侧面展开图为矩形，边长分别棱柱的底面周长和高，利用勾股定理求出对角线长；
（III）代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：（I过E作EG⊥AC于G，连结BG，则EG∥CD∥BF．
∴$\frac{EG}{CD}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，又∵$\frac{CD}{C{C}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EG}{C{C}_{1}}=\frac{1}{4}$．
∵FB₁=3BF，∴$\frac{BF}{B{B}_{1}}=\frac{1}{4}$，
又BB₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，∴EG$\stackrel{∥}{=}$BF，
∴四边形EGBF是平行四边形，
∴EF∥BG，又EF?平面ABC，BG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（II）∵△ABC是边长为1的等边三角形，AA₁=1，
∴棱柱侧面展开图的矩形边长为1和3．
∴三棱柱的侧面展开图的对角线长为$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$．
（III）V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．