Question

11．如图，已知四棱锥S-ABCD，底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段AD的中点．
（Ⅰ）求证：SD∥平面MAC；
（Ⅱ）求证：SE⊥AC；
（Ⅲ）求三棱锥M-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交AC于O，连接MO，由三角形中位线定理可得OM∥SD，然后由线面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由侧面SAD为正三角形，E为线段AD的中点，可得SE⊥AD，结合侧面SAD⊥底面ABCD，得SE⊥底面ABCD，则SE⊥AC；
（Ⅲ）由已知求出${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，再由M为SB的中点，得M到底面的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入三棱锥体积公式求得答案．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接MO，
∵底面ABCD是菱形，∴O为BD的中点，又M为侧棱SB的中点，
∴OM∥SD，
又OM?面MAC，SD?面MAC，
∴SD∥平面MAC；
（Ⅱ）证明：∵SAD为正三角形，E为线段AD的中点，
∴SE⊥AD，
又侧面SAD⊥底面ABCD，且侧面SAD∩底面ABCD=AD，
∴SE⊥底面ABCD，而AC?底面ABCD，
∴SE⊥AC；
（Ⅲ）解：∵底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为边长是2的正三角形，则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
又△SAD为边长是2的正三角形，∴SE=$\sqrt{3}$，
由（Ⅱ）知SE⊥底面ABCD，即S到底面的距离为$\sqrt{3}$，
∵M为SB的中点，∴M到底面的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．