Question

13．等比数列{a_n}中，若a₃，a₁₁是方程2x²-23x+56=0的两个根，则a₇=$2\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由题意可得a₃•a₁₁=$\frac{56}{2}=28$，且得到数列{a_n}中的奇数项大于0，然后再由等比数列的性质求得a₇．

解答 解：由a₃，a₁₁是方程2x²-23x+56=0的两个根，得
a₃+a₁₁=$\frac{23}{2}$，a₃•a₁₁=$\frac{56}{2}=28$，则a₃＞0，
∵数列{a_n}是等比数列，
∴${{a}_{7}}^{2}={a}_{3}{a}_{11}=28$，
∴${a}_{7}=-2\sqrt{7}$，或${a}_{7}=2\sqrt{7}$，
由上面a₃＞0，又由等比数列的性质知，比数列中所有奇数项都是同号，
可知${a}_{7}=2\sqrt{7}$．
故答案为：$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了一元二次方程根与系数关系的应用，是基础题．