Question

10．若函数f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（-∞，-e²]∪[e²，+∞）．

Answer 1

分析 可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出$f（x）={e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e^2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e²；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数$y={e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$在R上单调递增，而由${e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}=0$可解得$x=\frac{ln（-a）}{2}$，从而得出f（x）在$（-∞，\frac{ln（-a）}{2}]$上单调递减，从而便可得出$\frac{ln（-a）}{2}≥1$，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a＞0时，$f（x）={e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$，$f′（x）=\frac{{e}^{2x}-a}{{e}^{x}}$；
∵f（x）在[0，1]上单调递减；
∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；
即x∈[0，1]时，a≥e^2x恒成立；
y=e^2x在[0，1]上的最大值为e²；
∴a≥e²；
（2）当a=0时，f（x）=e^x，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；
∴a≠0；
（3）当a＜0时，$y={e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$在R上单调递增；
令${e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}=0$得，$x=\frac{ln（-a）}{2}$；
∴f（x）在$（-∞，\frac{ln（-a）}{2}]$上为减函数，在$[\frac{ln（-a）}{2}，+∞）$上为增函数；
又f（x）在[0，1]上为减函数；
∴$\frac{ln（-a）}{2}≥1$；
∴a≤-e²；
∴综上得，实数a的取值范围为（-∞，-e²]∪[e²，+∞）．
故答案为：（-∞，-e²]∪[e²，+∞）．

点评 本题考查指数函数的值域，函数单调性和函数导数符号的关系，考查增函数和减函数的定义、反比例函数的单调性、以及对数的运算性质．