Question

2．已知集合P={（x，y）|$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）}，Q={（x，y）|$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$＞m（a＞b＞0，m＞0）}，若?M∈P，M∉Q，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：2x²-2amx+a²（m²-1）=0，根据?M∈P，M∉Q，可得△≤0，解出实数m的取值范围即可．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：2x²-2amx+a²（m²-1）=0，
∵?M∈P，M∉Q，∴△=4a²m²-8a²（m²-1）≤0，
解得：$m≥\sqrt{2}$．
∴实数m的取值范围是$[\sqrt{2}，+∞）$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的性质、直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．