Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）长轴两端点为A、B、P为C上异于顶点的点．满足AP与BP的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设E、F是椭圆C上两点，线段EF的垂直平分线与x轴交于点G（x₀，0），求$\frac{{x}_{0}}{a}$的取值范围；
（3）设F₁，F₂分别是椭圆C的左右焦点，直线PF₁与椭圆C交于点P₁，直线PF₂与椭圆C交于点P₂，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=λ₁$\overrightarrow{{F}_{1}{P}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=λ₂$\overrightarrow{{F}_{2}{P}_{2}}$，试判断λ₁+λ₂是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（x_p，y_p），则k_AP=$\frac{{y}_{p}}{{x}_{p}+a}$，k_BP=$\frac{{y}_{p}}{{x}_{1}-a}$，由此能求出椭圆的离心率．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²，从而2（x₂-x₁）x₀=（${{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}$）$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$，进而x₀=$\frac{{{x}_{1}}^{\;}+{x}_{2}}{2}$•$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$，由此能求出$\frac{{x}_{0}}{a}$的取值范围．
（3）由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得b=c．则椭圆方程x²+2y²=2b²．设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），C（x_c，y_c），若直线AC⊥x轴，则λ₁+λ₂=6．若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为y=$\frac{{y}_{a}}{{x}_{a}-b}$（x-b），代入椭圆方程有（3b²-2bx_a）y²+2by_a（x_a-b）y-b²y_a²=0．由此利用韦达定理得能求出λ₁+λ₂是定值6．

解答 解：（1）设P（x_p，y_p），∵圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）长轴两端点为A、B、P为C上异于顶点的点．满足AP与BP的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，①，且A（-a，0），B（a，0）
∴k_AP=$\frac{{y}_{p}}{{x}_{p}+a}$，k_BP=$\frac{{y}_{p}}{{x}_{1}-a}$，
∵直线AP与BP的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，∴${{x}_{p}}^{2}={a}^{2}-2{{y}_{p}}^{2}$，
代入①并整理得（a²-2b²）y_p²=0
∵y₀≠0，∴a²=2b²，∴e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．因线段EF的垂直平分线与x轴相交，故EF不平行于y轴，即x₁≠x₂．
又交点为G（x₀，0），故|GE|=|GF|，即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²，②
∵E、F在椭圆上，
∴${{y}_{1}}^{2}={b}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{{x}_{1}}^{2}$，${{y}_{2}}^{2}$=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$${{x}_{2}}^{2}$．
将上式代入②，得：2（x₂-x₁）x₀=（${{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}$）$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$，③
∵x₁≠x₂，可得x₀=$\frac{{{x}_{1}}^{\;}+{x}_{2}}{2}$•$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$．④
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，
∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴-$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{{x}_{0}}{a}$＜$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$，∴-$\frac{1}{2}＜\frac{{x}_{0}}{a}＜\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{x}_{0}}{a}$的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（3）由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}}{a}$=$\sqrt{1-{e}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴b=c．
焦点坐标为F₁（-b，0），F₂（b，0），则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
化简有x²+2y²=2b²．
设设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），C（x_c，y_c），
①若直线AC⊥x轴，x_a=b，λ₂=1，λ₁=$\frac{3b+2b}{b}$=5，
∴λ₁+λ₂=6．
②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为y=$\frac{{y}_{a}}{{x}_{a}-b}$（x-b），
代入椭圆方程有（3b²-2bx_a）y²+2by_a（x_a-b）y-b²y_a²=0．
由韦达定理得：y_ay_c=-$\frac{{b}^{2}{{y}_{a}}^{2}}{3{b}^{2}-2b{x}_{a}}$，∴${y}_{c}=-\frac{{b}^{2}{y}_{a}}{3{b}^{2}-2b{x}_{a}}$，
∴${λ}_{2}=\frac{|A{F}_{2}|}{|{F}_{2}C|}$=$\frac{{y}_{a}}{-{y}_{c}}=\frac{3b-2{x}_{a}}{b}$，
同理，得${λ}_{1}=\frac{-3b-2{x}_{a}}{-b}=\frac{3b+2{x}_{a}}{b}$，
故λ₁+λ₂=$\frac{6b}{b}$．
综上所述：λ₁+λ₂是定值6．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，考查了利用椭圆得性质及椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交中方程思想的应用，这是处理直线与椭圆位置关系的通法，但要注意基本运算的考查具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．