Question

5．设有白球与黑球各4个，从中任取4个放入甲盒，余下的4个放入乙盒，然后分别在两盒中各任取1个球，颜色正好相同，试问放入甲盒的4个球中有几个白球的概率最大？并求出此概率值．

Answer 1

分析 A表示“从甲盒、乙盒中各取1球颜色相同”，B_i表示“甲盒中有i只球”，i=0，1，2，3，4，先分别求出P（B_i），再由全概率公式求出P（A），然后由贝叶斯公式分别求出P（B₁|A），P（B₂|A），P（B₃|A），从而得到放入甲盒中，2只白球的概率最大．

解答 解：A表示“从甲盒、乙盒中各取1球颜色相同”，
B_i表示“甲盒中有i只球”，i=0，1，2，3，4，由题意知A?$\sum_{i=1}^{3}{B}_{i}$，
P（B₁）$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{3}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{8}{35}$，P（A|B₁）=$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$，
P（B₂）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，P（A|B₂）=$\frac{2}{4}×\frac{2}{4}+\frac{2}{4}×\frac{2}{4}$=$\frac{4}{8}$，
P（B₃）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{8}{35}$，P（A|B₃）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{8}$，
由全概率公式得：P（A）=$\sum_{k=1}^{3}P（{B}_{k}）P（A|{B}_{k}）$=$\frac{8}{35}×\frac{3}{8}+\frac{18}{35}×\frac{4}{8}+\frac{8}{35}×\frac{3}{8}$=$\frac{3}{7}$．
由贝叶斯公式，得P（B₁|A）=$\frac{P（{B}_{1}）P（A{|B}_{1}）}{P（A）}$=$\frac{1}{5}$，
P（B₂|A）=$\frac{P（{B}_{2}）P（A|{B}_{2}）}{P（A）}$=$\frac{3}{5}$，
P（B₃|A）=$\frac{P（{B}_{3}）P（A|{B}_{3}）}{P（A）}$=$\frac{1}{5}$．
∴放入甲盒中，2只白球的概率最大．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率、全概率公式、贝叶斯公式的合理运用．