Question

10．四面体ABCD中，BD=$\sqrt{2}$，AB=AD=CB=CD=AC=1，求证：面ABD⊥面BCD．

Answer 1

分析 取BD中点M，连结AM，CM，则AM⊥BD，CM⊥BD，利用勾股定理计算AM，CM，得出AM²+CM²=AC²，故AM⊥CM，于是AM⊥平面BCD，从而平面ABD⊥平面BCD．

解答 证明取BD中点M，连结AM，CM，
∵AB=AD=BC=CD=1，M是BC的中点，
∴AM⊥BD，CM⊥BD，BM=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又AC=1，∴AM²+CM²=AC²，
∴AM⊥CM，
又CM?平面BCD，BC?平面BCD，CM∩BC=M，
∴AM⊥平面BCD，
∵AM?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD．

点评 本题考查了面面垂直的判定，属于基础题．