Question

19．已知函数f（x）=cosx（2$\sqrt{3}$sinx-cosx）+asin²x的一个零点是$\frac{π}{12}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）令x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，求此时f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）将f（x）化简，将（$\frac{π}{12}$，0）代入求得a=1，将其化简为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），求周期，
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，由正弦函数图象求得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=cosx（2$\sqrt{3}$sinx-cosx）+asin²x=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+asin²x，
=$\sqrt{3}$sin2x-cos²x+asin²x，一个零点是$\frac{π}{12}$，
代入求得a=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
f（x）的最小正周期为π，
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，
∴f（x）的最大值为$\sqrt{3}$，最小值-2．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．