Question

6．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，l与另一条渐近线交于B点，若$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意，取右焦点F（c，0），渐近线y=$\frac{b}{a}$x，求出直线FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），由方程联立求出A、B的坐标，利用坐标表示$\overrightarrow{FB}$与$\overrightarrow{FA}$，由$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，运用向量共线的坐标表示，求出双曲线的离心率e．

解答 解：如图所示，
取右焦点F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x．
∵FA⊥OA，
∴直线FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
令$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}}\\{y=-\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$）
∴$\overrightarrow{FA}$=（-$\frac{{b}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）．
又$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，可得$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=-$\frac{3{b}^{2}}{c}$，
化为c²=3b²-3a²=3c²-6a²，即有c²=3a²，
∴该双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，主要是离心率的求法，也考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题．