Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=n-n²（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2^{a_n}}，（{n=2k-1}）\\ \frac{2}{{（{1-{a_n}}）（{1-{a_{n+2}}}）}}，（{n=2k}）\end{array}\right.$（k∈N^*），求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，当n≥2时，由2a_n=2S_n-2S_n-1可得）a_n=1-n（n≥2），再检验n=1时，是否适合，以确定是分是合，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由$\frac{2}{（1-{a}_{n}）（1-{a}_{n+2}）}=\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$可得T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n），分组求和即可．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，$2{a_n}=2{S_n}-2{S_{n-1}}=n-{n^2}-[（n-1）-{（n-1）^2}]=2-2n$--------（2分）
即：a_n=1-n（n≥2），-------------------------------------------------------------（3分）
当n=1时，由$2{S_1}=1-{1^2}$得a₁=0，-----------------------------------------------（4分）
显然当n=1时上式也适合，
∴a_n=1-n．--------------------------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）∵$\frac{2}{{（1-{a_n}）（1-{a_{n+2}}）}}=\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，------------------------------------（6分）
∴T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）-------------------------------------（7分）
=$（{2^0}+{2^{-2}}+…+{2^{2-2n}}）+[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+…+（\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}）$]---------------------（9分）
=$\frac{{1-{{（\frac{1}{4}）}^n}}}{{1-\frac{1}{4}}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}$---------------------------------------------------------（11分）
=$\frac{11}{6}-\frac{4}{3}•{（\frac{1}{4}）^n}-\frac{1}{2n+2}$．-------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查数列的求和，着重考查数列递推式的应用，考查裂项法、公式法与分组求和法的综合应用，属于中档题．