Question

8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求三棱锥P-BEC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结PD，则由三角形三线合一可得AB⊥PD，又BC∥DE，BC⊥AB，故AB⊥DE，于是AB⊥平面PDE，得出AB⊥PE；
（2）利用等边三角形的性质计算PD和S_△BCE，代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：（1）连结PD，∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，又∠ABC=90°，
∴DE⊥AB．
又∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．
又PD?平面PDE，DE?平面PDE，PD∩DE=D，
∴AB⊥平面PDE，∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE．
（2）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD?平面PAB，
∴PD⊥平面ABC，
∵PA=PB=AB=2，D是AB中点，∴BD=1，PD=$\sqrt{3}$，
又∵S_△BCE=$\frac{1}{2}BC•BD$=$\frac{1}{2}×3×1$=$\frac{3}{2}$．
∴V_P-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•PD$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．