Question

19．已知集合A={x|$\frac{2}{x-1}$＜1}，集合B={x|mx-1＞0}，若A∪B=A，则实数m的取值范围是m≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由$\frac{2}{x-1}$＜1，化为：$\frac{x-3}{x-1}$＞0，即（x-1）（x-3）＞0，可得：集合A={x|x＜1或x＞3}，对于集合B={x|mx-1＞0}，对m分类讨论，利用A∪B=A即可得出．

解答 解：由$\frac{2}{x-1}$＜1，化为：$\frac{x-3}{x-1}$＞0，即（x-1）（x-3）＞0，解得x＞3，或x＜1．∴集合A={x|x＜1或x＞3}，
对于集合B={x|mx-1＞0}，当m=0时，B=∅，满足A∪B=A．
当m＞0时，解得x$＞\frac{1}{m}$，∵A∪B=A，∴$\frac{1}{m}$≥3，解得0＜m≤$\frac{1}{3}$；
当m＜0时，解得x$＜\frac{1}{m}$，∵A∪B=A，∴$\frac{1}{m}$≤1，解得m＜0．
综上可得：m≤$\frac{1}{3}$．
故答案为：m≤$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．