Question

4．如图，在四棱锥中P-ABCD，底面ABCD为边长为$\sqrt{2}$的正方形，PA⊥BD．
（Ⅰ）求证：PB=PD；
（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D-ACE体积．

Answer 1

分析 （I）由正方形的性质得AC⊥BD，又BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是BD⊥PO，由Rt△PBO∽Rt△PDO得出PB=PD；
（II）取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则可证四边形AFEQ是平行四边形，故EF∥AQ，于是AQ⊥平面PCD，得出AQ⊥PD，于是PA=AD=$\sqrt{2}$，由CD⊥AD，CD⊥AQ得CD⊥平面PAD，故CD⊥PA，于是PA⊥平面ABCD，则E到底面的距离等于$\frac{1}{2}PA$，代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD且O为BD的中点．
又PA⊥BD，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又PO?平面PAC，
∴BD⊥PO．又BO=DO，
∴Rt△PBO∽Rt△PDO，
∴PB=PD．
（Ⅱ）取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则EQ$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
又AF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}CD$，
∴AFEQ为平行四边形，EF∥AQ，
∵EF⊥平面PCD，
∴AQ⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，
∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，
∴AP=AD=$\sqrt{2}$．
∵AQ⊥平面PCD，CD?平面PCD，
∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，又AQ∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PA，又BD⊥PA，CD∩BD=D，
∴PA⊥平面ABCD．
$\begin{array}{l}{V_{D-ACE}}={V_{E-ACD}}\\=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}PA×{S_{△ACD}}\end{array}$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}\\=\frac{{\sqrt{2}}}{6}\end{array}$
故三棱锥D-ACE的体积为$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．