Question

12．如图，已知PA垂直圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上一点，且PA=AC=BC，E，F分别为PC，PB中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面AEF与平面ABC的交线与平面PBC平行；
（Ⅲ）求四棱锥A-BCEF的体积．

Answer 1

分析 （I）由圆的性质得BC⊥AC，由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，于是BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC；
（II）由中位线定理得EF∥BC，故EF∥平面ABC，由线面平行的性质得出平面AEF与平面ABC的交线与EF平行，故平面AEF与平面ABC的交线与平面PBC平行；
（III）使用作差法计算体积，V_A-BCEF=V_P-ABC-V_P-AEF．

解答 证明：（I）∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，
∵PA⊥平面⊙O，BC?平面⊙O，
∴PA⊥BC，又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，又∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（II）∵E，F分别是PC，PB的中点，
∴EF∥BC，又BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
设平面AEF∩平面ABC=a，则EF∥a，
又a?平面PBC，EF?平面PBC，
∴a∥平面PBC．
（III）在Rt△ABC中，∵AC=BC，AB=2，∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴PA=$\sqrt{2}$，EF=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2，∴PE=AE=$\frac{1}{2}PC$=1，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
V_P-AEF=V_F-PAE=$\frac{1}{3}{S}_{△PAE}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
∴V_A-BCEF=V_P-ABC-V_P-AEF=$\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{12}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面平行的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．