Question

20．已知F是双曲线C：x²-y²=1的右焦点，P是C的左支上一点，点A（0，$\sqrt{2}$），则△APF周长的最小值为6．

Answer 1

分析 设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，考虑P在左支上运动到与A，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的左焦点为F'，
由双曲线C：x²-y²=1可得a=1，b=1，c=$\sqrt{2}$，
即有F（$\sqrt{2}$，0），F'（-$\sqrt{2}$，0），
△APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2，
由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=2，
即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，
当P在左支上运动到A，P，F'共线时，
|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=2，
则有△APF周长的最小值为2+2+2=6．
故答案为：6．

点评 本题考查三角形的周长的最小值，注意运用双曲线的定义和三点共线时取得最小值，考查运算能力，属于中档题．