Question

9．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD为菱形，∠ADC=60°，BB₁⊥底面ABCD，AA₁=AC=4，E是CD的中点，
（1）求证：B₁C∥平面AC₁E；
（2）求几何体C₁-AECB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连结B₁D交AC₁于O，连结OE，由直棱柱的结构特征可证四边形ADC₁B₁是平行四边形，故O是B₁D的中点，于是OE∥B₁C，从而B₁C∥平面AC₁E；
（2）将几何体分解成三棱锥C₁-ACE和三棱锥A-CB₁C₁．

解答 （1）证明：连结B₁D交AC₁于O，连结OE，
∵B₁C₁$\stackrel{∥}{=}BC$$\stackrel{∥}{=}$AD，∴四边形ADC₁B₁是平行四边形，
∴O是B₁D的中点，又E是CD的中点，
∴OE∥B₁C，∵OE?平面AC₁E，B₁C?平面AC₁E，
∴B₁C∥平面AC₁E．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
取BC的中点M，连结AM，则AM⊥BC，
由AM⊥BB₁，∴AM⊥平面BCC₁B₁，
∴AM=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$，C₁到平面ABCD的距离h=AA₁=4，
S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}$=2$\sqrt{3}$，S${\;}_{△C{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×4×4$=8．
∴V${\;}_{{C}_{1}-ACE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACE}•h$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×4$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
V${\;}_{A-C{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△C{B}_{1}{C}_{1}}$•AM=$\frac{1}{3}×8×2\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
∴几何体C₁-AECB₁的体积V=V${\;}_{{C}_{1}-ACE}$+V${\;}_{A-C{B}_{1}{C}_{1}}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．