Question

18．用分析法证明：设a，b为实数，求证$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）

Answer 1

分析 分析法证明不等式，寻找使$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备为止．

解答 证明：要证$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
a+b≤0，显然成立，
a+b＞0时，只要证a²+b²≥$\frac{1}{2}$（a+b）²，
只要证2（a²+b²）≥a²+2ab+b²，
只要证（a-b）²≥0，
显然成立，故要证的不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查分析法的应用，考查推理能力，体现了转化的数学思想，属于中档题．