Question

8．已知双曲线C的焦点为F₁，F₂，点P是双曲线上任意一点，若双曲线的离心率为2，且|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠PF₂F₁=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 设双曲线C的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），运用离心率公式可得c=2a，再由双曲线的定义可得|PF₁|=2|PF₂|=4a，再由余弦定理，计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线C的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PF₁|=2|PF₂|，可得|PF₁|=2|PF₂|=4a，
又|F₁F₂|=2c=4a，
在三角形PF₁F₂中，cos∠PF₂F₁=$\frac{|P{F}_{2}{|}^{2}+|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}-|P{F}_{1}{|}^{2}}{2|P{F}_{2}|•|{F}_{1}{F}_{2}|}$
=$\frac{4{a}^{2}+16{a}^{2}-16{a}^{2}}{2×2a×4a}$=$\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率公式的运用，考查余弦定理的运用，以及运算求解能力，属于中档题．