Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点是F（-c，0），离心率为e，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆x²+y²=c²在y轴右侧交于点P，若P在抛物线y²=2cx上，则e²=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设抛物线y²=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，设双曲线的右焦点为F′，P（x，y），利用抛物线的定义、双曲线的渐近线以及直线平行的性质、圆的性质：直径所对的圆周角为直角即可得出所求值．

解答 解：如图，设抛物线y²=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，
设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．
由题意可知FF′为圆x²+y²=c²的直径，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{b}{a}$，|FF′|=2c，
满足$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{b}{a}③}\end{array}\right.$，
将①代入②得x²+2cx-c²=0，
则x=-c±$\sqrt{2}$c，
即x=（$\sqrt{2}$-1）c，（负值舍去），
代入③，即y=$\frac{\sqrt{2}bc}{a}$，
再将y代入①得，$\frac{2{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$=2（$\sqrt{2}$-1）c²，
即为b²=c²-a²=（$\sqrt{2}$-1）a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的性质，掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．