Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为2的等边三角形．D为AB中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；（Ⅱ）若四边形CBB₁C₁是正方形，且A₁D=$\sqrt{5}$，求多面体CA₁C₁BD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC₁中点E，连结DE，由中位线定理得出DE∥BC₁，故而BC₁∥平面A₁CD；
（2）由勾股定理的逆定理可证明AA₁⊥平面ABC，然后利用作差法求出多面体的体积．

解答 解：（I）连结AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连结DE，则E是AC₁的中点，
∵D是AB的中点，
∴DE∥BC₁，又DE?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（II）∵四边形CBB₁C₁是正方形，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点
∴AD=1，AA₁=B₁B=BC=2，
∴AD²+A₁A²=5=A₁D²，∴A₁A⊥AD，
又∵B₁B⊥BC，B₁B∥A₁A，
∴A₁A⊥BC，
又AD?平面ABC，BC?平面ABC，AD∩BC=B，
∴A₁A⊥平面ABC，
∵S_△ABC=S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴多面体CA₁C₁BD的体积V=V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{{A}_{1}-ACD}$-V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_ABC•AA₁-$\frac{1}{3}$S_△ACD•AA₁-$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$•BB₁
=$\sqrt{3}×2$-$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$-$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\sqrt{3}$．
∴多面体CA₁C₁BD的体积为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，多面体的体积计算，属于中档题．