Question

1．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD=BC=$\frac{1}{2}$AB=1，点P为CE中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求DE与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥D-ABP的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点O，连结OD，OE，由已知可得AB⊥OE，结合四边形ABCD是直角梯形，得到OD∥CB，然后利用线面垂直的判定可得AB⊥平面ODE，从而得到AB⊥DE；   
（Ⅱ）由平面ABCD⊥平面ABE，结合面面垂直的性质可得OE⊥AB，进一步得到OE⊥平面ABCD．得到∠ODEDE与平面ABCD所角，然后求解直角三角形得答案；
（Ⅲ）由P为CE中点，得V_D-ABP=V_P-ABD=$\frac{1}{2}{V}_{E-ABD}$，则三棱锥D-ABP的体积可求．

解答 （Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OD，OE，
∵△ABE是正三角形，∴AB⊥OE．             
∵四边形ABCD是直角梯形，$DC=\frac{1}{2}AB$，AB∥CD，
∴四边形OBCD是平行四边形，OD∥CB，
又AB⊥BC，∴AB⊥OD．                      
∵OD、OE?平面ODE，且OD∩OE=O，
∴AB⊥平面ODE，
∵DE?平面ODE，∴AB⊥DE；                  
（Ⅱ）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OE⊥AB，OE?ABE，
∴OE⊥平面ABCD．
∴∠ODE即为所求，
在△ODE中，OD=1，OE=$\sqrt{3}$，∠DOE=90°，
∴$tan∠ODE=\sqrt{3}$．
又∵∠ODE为锐角，
∴∠ODE=60°；
（Ⅲ）解：∵P为CE中点，
∴V_D-ABP=V_P-ABD=$\frac{1}{2}{V}_{E-ABD}$，
∵OE⊥平面ABCD，
∴${V}_{E-ABD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•OE$=$\frac{1}{3}×\frac{2×1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴${V}_{D-ABP}={V}_{P-ABD}=\frac{1}{2}{V}_{E-ABD}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的性质，考查了线面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．