Question

10．如图，在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，PB=BC=2CD=2，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设∠PAB=θ：
（1）当θ为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小：
（2）当θ为多少度时，三棱锥P-ABD的体积为$\frac{\sqrt{2}}{6}$：

Answer 1

分析 （1）取PA的中点E，连结OE，BE，则∠BOP为PC，BD所成的角，由PA⊥AB，PA⊥AD可得PA⊥平面ABCD，利用勾股定理求出△OBE的三边长，使用余弦定理求出cos∠BOP；
（2）P到平面ABCD的距离为PAsinθ=sinθ，代入棱锥P-ABD的体积公式求出sinθ得出θ的值．

解答 解：（1）∵AB∥CD，AB=CD，CD⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
连结AC交BD与O，则O是AC，BD的中点，
取PA的中点E，连结OE，BE，
则OE是△PAC的中位线，∴PC∥OE，OE=$\frac{1}{2}$PC．
∴∠BOE是异面直线PC，BD所成的角
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，OB=OA=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．OE=$\sqrt{A{E}^{2}+O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴cos∠BOE=$\frac{O{B}^{2}+O{E}^{2}-B{E}^{2}}{2OB•OE}$=$\frac{\frac{5}{4}+\frac{6}{4}-\frac{5}{4}}{2×\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴∠BOE=arccos$\frac{\sqrt{30}}{10}$．即异面直线PC与BD所成的角为arccos$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
（2）P到平面ABCD的距离h=PAsinθ=sinθ．
S_△ABD=$\frac{1}{2}AB×AD$=1，
∴V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•h$=$\frac{1}{3}×1×sinθ$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了异面直线所成角的计算，棱锥的体积计算，作出空间角是解题关键，也可使用向量法求出，属于中档题．