Question

19．如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD相交于点O．
（1）证明：SO⊥BD；
（2）求三棱锥O-SCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由SA⊥平面ABCD可得SA⊥BD，又AC⊥BD，故BD⊥平面SAC，于是BD⊥SO；
（2）V_O-SCD=V_S-OCD=$\frac{1}{3}{S}_{△OCD}•SA$．

解答 证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又SA?平面SAC，AC?平面SAC，SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC，∵SO?平面SAC，
∴SO⊥BD．
（2）∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴S_△OCD=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}×{1}^{2}$=$\frac{1}{4}$．
∴V_O-SCD=V_S-OCD=$\frac{1}{3}{S}_{△OCD}•SA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×4$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．