Question

2．数列{a_n}中，a_n＞0，前n项和为S_n，且S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为a_n=n．

Answer 1

分析 分类讨论，当n≥2时，由S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$，S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，从而可得数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而求得．

解答 解：①当n=1时，S₁=a₁=$\frac{{a}_{1}（{a}_{1}+1）}{2}$，
解得，a₁=1；
②当n≥2时，S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$，S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$，
故a_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$，
化简可得，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
故数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故a_n=n，
故答案为：a_n=n．

点评 本题考查了等差数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用及作差法的应用，属于中档题．