Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所有棱长为都为2，顶点B₁在底面ABC内的射影是△ABC的中心，则四面体A₁-ABC，B₁-ABC，C₁-ABC公共部分的体积为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{9}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{9}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作出图形，找到三个棱锥的公共部分，利用相似三角形得出公共部分棱锥的高，代入体积公式计算．

解答 解：设菱形ABB₁A₁的中心为E，菱形BCC₁B₁的中心为F，连结CE，AF交点为P，则四面体A₁-ABC，B₁-ABC，C₁-ABC公共部分为三棱锥P-ABC．
取底面ABC的中心O，连结B₁O，则B₁O⊥平面ABC．
延长BO交AC于D，则D为AC的中点，
∵AB=BC=AC=2，O是正三角形ABC的中心，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，BO=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴B₁O=$\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}-B{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，∴△PEF∽△PCA，
∴$\frac{PE}{PC}=\frac{EF}{AC}=\frac{1}{2}$，
又∵E是B₁A的中点，∴P到底面ABC的距离h=$\frac{1}{2}{B}_{1}O$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\frac{2\sqrt{6}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．
故选A．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，棱锥的体积计算，求出公共部分的高是解题关键．