Question

17．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，AB=AA₁，M是BB₁的中点，P是A₁B₁的中点，N是线段CC₁上的动点．
（Ⅰ）证明：平面APC₁⊥平面A₁MN；
（Ⅱ）若二面角N-A₁M-A的余弦值为$\frac{1}{4}$，求$\frac{CN}{N{C}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （I）根据面面垂直的判定定理证明A₁M⊥平面APC₁即可
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法结合二面角的余弦值求出N的位置即可得到结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵△A₁B₁C₁是正三角形，P是A₁B₁的中点
∴C₁P⊥A₁B₁，
则C₁P⊥平面ABB₁A₁，
则C₁P⊥A₁M，
在正方形ABB₁A₁，中，M是BB₁的中点，
∴C₁P⊥AP，
∵AP与A₁M相交，
∴A₁M⊥平面APC₁，
∵A₁M?平面A₁MN；
∴平面APC₁⊥平面A₁MN；
（Ⅱ）建立以A₁为坐标原点，A₁A，A₁B₁，分别为x，y轴，垂直于平面ABB₁A₁，的直线为z轴的空间直角坐标系如图：
∵△ABC是正三角形，AB=AA₁，
∴设AB=AA₁=2，
则A（2，0，0），B（2，2，0），M（1，2，0），C₁（0，1，$\sqrt{3}$），
设N（a，1，$\sqrt{3}$），0＜a＜2，
则平面A₁MA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面NA₁M的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（1，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（a，1，$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}M}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}N}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{ax+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则x=-2，z=$\frac{2a-1}{\sqrt{3}}$，
则$\overrightarrow{n}$=（-2，1，$\frac{2a-1}{\sqrt{3}}$），
若二面角N-A₁M-A的余弦值为$\frac{1}{4}$，
则|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|\frac{2a-1}{\sqrt{3}}|}{\sqrt{4+1+\frac{（2a-1）^{2}}{3}}}$=$\frac{1}{4}$，
整理得（2a-1）²=1，得2a-1=1或2a-1=-1，
得a=1或a=0（舍），
即N是CC₁的中点，
则$\frac{CN}{N{C}_{1}}$=1．

点评 本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．