Question

7．已知函数f（x）=asinx+bcosx．
（1）当f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，且f（x）_max=$\sqrt{10}$时，求a、b的值；
（2）当f（$\frac{π}{3}$）=1，且f（x）_min=k时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由辅助角公式，将f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+φ），sinφ=$\frac{b}{\sqrt{10}}$，cosφ=$\frac{a}{\sqrt{10}}$，求得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，利用两角和的正弦公式化简求得
sin$\frac{π}{4}$cosφ+cos$\frac{π}{4}$sinφ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，代入求得a=3 b=-1 或a=-1 b=3，
（2））f（$\frac{π}{3}$）=1得$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b=1$，化简利用二次函数的性质求得 a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时 K²最小，最小K为1，K≥1．

解答 解：（1）f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+φ），
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
f（$\frac{π}{4}$）=2，可得a+b=2，
联立解得：a=3 b=-1 或a=-1 b=3；
（2）f（$\frac{π}{3}$）=1，$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b=1$，
∴a²+b²=K²（K为负数），
∴K²=a²+b²=a²+4（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}a$）²=4a²-4$\sqrt{3}$a+4≥1，
当 a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时 K²最小，最小K²为1，
K≤-1．

点评 本题考查辅助角公式，求函数的解析式、两角和的正弦公式和二次函数的性质，属于中档题．