Question

6．下面的结论：
①若△ABC是锐角三角形，且A为最大角，则A≥60°；
②已知实数a，b，“a＞1，且b＞1”等价于“a+b＞1，且ab＞1”
③对于任意实数a，b，式子|a+b|，|a-b|，|1-a|中至少有一个不小于$\frac{1}{2}$；
④设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，则AC与平面SOB不垂直．
其中正确的有①③④（请把所有正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据不等式的性质进行判断，
②根据不等式的性质进行判断，
③利用反证法结合不等式的性质进行判断，
④利用反证法结合线面垂直的性质进行判断．

解答 解：①若△ABC是锐角三角形，且A为最大角，则A≥B，A≥C，
则180°=A+B+C≤3A，则A≥60°正确，故①正确，
②已知实数a，b，“a＞1，且b＞1”等价于“a+b＞1，且ab＞1”错误，
当a=4，b=$\frac{1}{2}$，满足a+b＞1，且ab＞1，但＞1，且b＞1不成立，故②错误，
③假设|a+b|，|a-b|，|1-a|中都小于$\frac{1}{2}$，
则-$\frac{1}{2}$＜a+b＜$\frac{1}{2}$（1）
-$\frac{1}{2}$＜a-b＜$\frac{1}{2}$ （2）
（1）+（2）得-1＜2a＜1，
则-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$ （3）
又-$\frac{1}{2}$＜1-a＜$\frac{1}{2}$ （4），
（3）+（4）得-1＜1＜1，矛盾，则假设不成立，即原命题成立，故③正确，
④假设AC⊥平面SOB，
则AC⊥SB，AC⊥OB，过C作CD⊥SO于D，
∴CD∥OB，CD⊥AC，即AC与圆相切，与A是圆O上一点矛盾，即假设不成立，则原命题AC与平面SOB不垂直成立，故④正确，
故答案为：①③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及不等式的性质和应用，以及反证法的应用，涉及的知识点较多，有一定的难度．